SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [5]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

O tensor de energia-momento, também chamado tensor energia-impulso é uma quantidade tensorial em relatividade. Descreve o fluxo de energia e momento e satisfaz a equação de continuidade:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0

A grandeza

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x}

sobre uma seção de tipo espaço dá o quadrivetor energia-momento ou quadrimomento. Este tensor é a corrente de Noether associada às translações no espaço-tempo. Na relatividade geral, esta grandeza atua como a fonte do curvatura do espaço-tempo, e é a densidade de corrente associada às transformações de gauge (neste caso transformações de coordenadas) pelo teorema de Noether. Ainda que, no espaço-tempo curvado, a integral de tipo espaço depende da seção de tipo espaço, em geral. Não há de fato maneira de definir um vetor global de energia-momento num espaço-tempo curvado em geral.

Tensores relacionados

A parte tridimensional do tensor energia-momento coincide com o tensor tensão da mecânica de meios contínuos.

Exemplos

Fluido perfeito

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }$

Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.^[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição

Unidades do S.I.

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:^[2]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

onde $F^{\mu \nu }$ é o tensor eletromagnético e onde $\eta _{\mu \nu }$ é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},

onde

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,

é o vetor de Poynting,

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, $T^{\mu \nu }$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.

A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas [en] c.g.s. são:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,

então:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

e na forma de matriz explícita:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}

onde o vetor de Poynting se torna:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.^[3]

O elemento $T^{\mu \nu }\!$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, $P^{\mu }\!$ , passando por um hiperplano ( $x^{\nu }$ é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

Propriedades algébricas

O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:

É um tensor simétrico:

T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }

O tensor

T^{\nu }{}_{\alpha }

não tem traços:

T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Prova

Usando a forma explícita do tensor,

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]

Baixando os índices e usando o fato de que

$\eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }$

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]

Então, usando

$\delta _{\mu }^{\mu }=4$ ,

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]

Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.

T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0

T^{00}\geq 0

A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.^[4]

Leis de conservação

Ver artigo principal: Leis de conservação

O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,

onde $f_{\rho }$ é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}

descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,

e densidade de momento eletromagnético

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S}  \over {c^{2}}}

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e $\mathbf {f}$ é a densidade de força de Lorentz.

Na física, as equações de Maxwell no espaço-tempo curvo governam a dinâmica do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo ^[1] (onde a métrica não pode ser a métrica de Minkowski) ou quando se usa um sistema , não necessariamente cartesiano, arbitrário de coordenadas. Estas equações podem ser vistas como uma generalização das equações de Maxwell, que são normalmente formuladas nas coordenadas locais^{[nota 1]} do espaço-tempo plano. Entretanto porque a relatividade geral dita que a presença de campos eletromagnéticos (ou energia/matéria em geral) induzem curvatura do espaço-tempo, as equações de Maxwell no espaço-tempo plano devem ser vistas como uma aproximação.

Campo electromagnético

O campo electromagnético^[2] é um tensor antissimétrico covariante de classe 2,^[3] que pode ser definido em termos de potencial electromagnético por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

F_{\alpha \beta }\,=\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.

Para verificar que esta equação é invariante, podemos transformar as coordenadas (tal como descrito no tratamento clássico de tensores)

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,-\,{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&=\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)\,-\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&=\,{\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\,\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\,+\,{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\,\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\,-\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&=\,{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}\,-\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&=\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}\,-\,{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&=\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,F_{\delta \gamma }\ .\end{aligned}}

Esta definição implica que o campo electromagnético satisfaz

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0\,

que incorpora a lei de indução de Faraday e lei de Gauss^[4] para o magnetismo. Isto é demonstrado por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\,

=\,\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }\,=0\,.

Embora parece ter 64 equações em Faraday-Gauss, elas realmente reduzem-se a apenas quatro equações independentes .^[5] Utilizando a antisimetria do campo electromagnético pode-se reduzir a uma identidade (0 = 0) ou tornar redundante todas as equações, com excepção para aqueles com λ, μ, ν = 1,2,3; ou 2,3,0; ou 3,0,1; ou 0,1,2.

A equação de Faraday-Gauss é por vezes escrita

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

F_{[\mu \nu ;\lambda ]}\,=\,F_{[\mu \nu ,\lambda ]}\,=\,{\frac {1}{6}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }\right)\,

=\,{\frac {1}{3}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\right)=0\,

onde o ponto e vírgula indica uma derivada covariante, vírgula indica uma derivada parcial, e colchetes indicam anti-simetrização (Veja Gregorio Ricci-Curbastro).^[6] A derivada covariante do campo eletromagnético é

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

F_{\alpha \beta ;\gamma }\,=\,F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu }\,

onde Γ^α_{β γ} é o símbolo de Christoffel que é simétrico em seus índices mais baixos.

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

onde o tensor $G_{\mu \nu }\$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico $g_{\mu \nu }$ , e $T_{\mu \nu }$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de $\pi$ é Pi, $�$ é a velocidade da luz e $�$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}

onde além disso $R_{\mu \nu }\$ é o tensor de curvatura de Ricci, $�$ é o escalar de curvatura de Ricci e $\Lambda$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

$g_{\mu \nu }$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar $\kappa$ do espaço é proporcional à densidade aparente $\rho$ :

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \

onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\Delta R=GM/(3c^{2})

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ $10^{-33}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell

Se o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\

Pesquisar este blog

SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [5]

Tensores relacionados

Exemplos

Definição

Unidades do S.I.

Convenções de unidades C.G.S.

Propriedades algébricas

Leis de conservação

Campo electromagnético

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein

Equações de Einstein-Maxwell

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog