SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [5]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Em Física e Matemática, na área de sistemas dinâmicos, um duplo pêndulo é um sistema com dois pêndulos sendo um deles anexo no extremo do outro. Este é um sistema físico simples que apresentam um complexo comportamento dinâmico com alta sensibilidade em torno das condições iniciais. O movimento do pêndulo duplo é regido por um conjunto fechado de equações diferenciais ordinárias. Para sistemas com energia específica, seu comportamento é caótico.

Análise e Interpretação

Diversas variáveis do pêndulo duplo podem ser consideradas; os dois corpos podem ter comprimento e massa iguais ou desiguais. Podem ser pêndulo simples ou composto (também conhecido como pêndulo complexo) e o movimento pode ser em três dimensões ou restrito ao plano vertical. Na análise seguinte, consideramos as partes do pêndulo composto com a mesma massa $�$ e o mesmo comprimento $\ell$ , e o movimento é restrito em duas dimensões:

Duplo pêndulo

Em um pêndulo duplo, a massa é distribuída ao longo do comprimento do corpo. Se a massa é uniformemente distribuída, então, o centro de massa de cada corpo está localizado no ponto médio do mesmo e o seu momento de inércia é $\textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}$ em torno do centro de massa.

Convenientemente usamos ângulos entre o corpo e a vertical como coordenadas generalizadas para definição da configuração do sistema. Estes ângulos são chamados θ1 e θ2. A posição do centro de massa de cada barra pode ser escrita em termos dessas duas coordenadas. Se a origem do sistema de coordenadas Cartesianas considerado é o ponto de suspensão do primeiro pêndulo, então, o centro de massa desse pêndulo é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}

e o centro de massa do segundo pêndulo é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).

Com isso, escrevemos o Lagrangiano:

Lagrangiano

O Lagrangiano é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\begin{aligned}L&={\hbox{Energia Cinética}}-{\hbox{Energia Potential}}\\&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}

O primeiro termo é a energia cinética linear do centro de massa dos corpos e o segundo termo é a energia cinética rotacional em torno do centro de massa de cada braço. O último termo é a energia potencial dos corpos em um campo gravitacional uniforme. A notação de Newton indica a derivada temporal da variável em questão.

Substituindo as coordenadas abaixo e reorganizando os termos:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).

Movimento do duplo pêndulo (integração numérica das equações de movimento)

Fotografia de longa exposição de um duplo pêndulo exibindo movimento caótico (traçados com um LED)

Há somente uma quantidade conservada (energia), e não conservado o momento. Os dois momentos podem ser escritos como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].

Estas expressões podem ser invertidas para obtermos:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.

As equações restantes de movimento são escritas como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].

A última das quatro equações são fórmulas explícitas para a evolução temporal do sistema no seu estado atual. Não é possível ir mais longe e integrar estas equações analiticamente, para obter fórmulas para θ₁ e θ₂ como função do tempo. No entanto, é possível realizar essa integração numericamente usando o método Runge Kutta ou técnicas similares.

Movimento caótico

Gráfico do tempo para o pêndulo para virar em função das condições iniciais

O pêndulo duplo sofre movimento caótico e mostra uma sensível dependência das condições iniciais. A imagem a direita mostra quanto tempo levou para o pêndulo virar, em função das condições iniciais. Aqui, o valor inicial para θ₁ varia de −3 a 3 ao longo do eixo x. Já o valor inicial para θ₂ varia de −3 a 3 ao longo do eixo y. (Presumidamente, esta exposição está descrevendo uma versão estacionária com termo cinético igual a zero.) A cor de cada pixel indica a variação do pêndulo com $10{\sqrt {\ell /g}}$ (verde), within $100{\sqrt {\ell /g}}$ (vermelho), $1000{\sqrt {\ell /g}}$ (roxo) ou $10000{\sqrt {\ell /g}}$ (azul). Condições iniciais, que não levam a virar, são plotados em branco.

A fronteira da região branca central é definida em parte pela conservação de energia com a seguinte curva:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.\,

Dentro da região definida por esta curva, temos:

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,\,

Logo, do ponto de vista energético, é impossível o pêndulo virar. Fora desta região, o pêndulo pode virar, mas quando ele vai virar torne-se uma questão complexa para determinar. Comportamento semelhante é observado para um pêndulo duplo composto por duas massas pontuais, em vez de duas hastes com massa distribuída.

A falta de uma frequência de excitação natural, levou-se à utilização de sistemas de pêndulo duplo em modelos de resistência sísmica dos edifícios, onde o próprio edifício é o pêndulo primário invertido e uma massa secundária é ligada ao edifício para completar o pêndulo duplo.

Na teoria dos sistemas dinâmicos, a estabilidade de um sistema é a capacidade que um sistema possui de esquecer o seu passado conforme o tempo tende a infinito. Mais precisamente, um sistema dinâmico é dito assimptoticamente estável se tende ao seu(s) ponto(s) de equilíbrio(s) quando submetido à ingresso constante. No caso dos sistemas lineares isto significa que o movimento livre do sistema tende para zero com o passar do tempo. Quando um sistema atinge o ponto de equilibrio se diz entrou em regime estacionário.

Sistemas lineares

O movimento de um sistema linear invariante no tempo descrito pela quaterna (A,B,C,D) é dado pela fórmula de Lagrange:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\mathbf {x(t)=\Phi (t)x(0)+\Psi (t)u} _{\mathbf {[0} \mathbf {,t)} }\mathbf {(} \cdot \mathbf {)=x} _{\mathbf {L} }\mathbf {+x} _{\mathbf {F} }

onde:

x(t) é o movimento do sistema

\mathbf {x} _{\mathbf {L} }

é o movimento livre do sistema

\mathbf {x} _{\mathbf {F} }

é o movimento forçado do sistema

\mathbf {\Phi (t)} =\mathbf {e} ^{\mathbf {At} }

para sistemas a tempo continuo e

\mathbf {\Phi (t)} =\mathbf {A} ^{\mathbf {t} }

para sistemas a tempo discreto e se chama matriz de transição

\mathbf {u} _{\mathbf {[0} \mathbf {,t)} }\mathbf {(} \cdot \mathbf {)}

é a função de ingresso do sistema definida do intervalo [0,t)

\mathbf {\Psi (t)}

é 1 operador linear aplicado à função de ingresso

Um sistema linear é dito assimptoticamente estável quando:

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${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\forall x(0);\lim _{t\to +\infty }\mathbf {\Phi (t)x(0)} =0

Ou seja o movimento livre do sistema tende a zero quando o tempo tende a infinito para toda condição inicial x(0). Isso só é possível se a matriz de transição tender a zero para o tempo tendente a infinito.

Evolução temporal é a mudança de estado provocada pela passagem do tempo, aplicada nos sistemas com estado interno. Nesta formulação, o tempo não é um parâmetro obrigatoriamente continuo, podendo ser discreto ou até infinito. Na física clássica, a evolução temporal de uma coleção de corpos rígidos é governada por princípios da mecânica clássica. Nas formas mais rudimentares, estes princípios expressam o relacionamento entre a ação de forças nos corpos e suas acelerações dadas pelas leis de Newton do movimento. Estes princípios podem ser expressados de forma equivalente pela mecânica hamiltoniana ou pela mecânica de Lagrange.

O conceito da evolução temporal pode ser aplicado em outro sistemas com estado interno. Por exemplo, o operador de uma máquina de Turing pode ser considerado como a evolução temporal do estado máquina junto com o estado da fita. Neste caso o tempo será discreto.

Sistemas com estado interno podem possuir descrições variadas em termos do estado ou dos termos do valor do observável. Nestes sistemas a evolução temporal pode também se referir à mudança dos valores observados. Isto é relevante na mecânica quântica onde a Representação de Schrödinger e a Representação de Heisenberg são descrições equivalentes da evolução temporal.

Operador da evolução temporal

Considere um sistema com estado no espaço X em que sua evolução seja determinística e reversível. Vamos também supor que o tempo é um parâmetro sobre o conjunto de número real $\mathbb {R} \,$ . Então a evolução temporal será dada por uma família de transformações de estados bijetivos

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\operatorname {F} _{t,s}:X\rightarrow X\quad \forall t,s\in \mathbb {R}

F_t, s(x) é o estado do sistema num dado tempo t, cujo estado no tempo s é x. A identidade seguinte detém

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).

Para entender porque isto é verdadeiro, suponha x ∈ X é o estado no tempo s. Então por definição de F, F_t, s(x) é o estado do sistema num tempo t e, consequentemente, aplicando a definição mais uma vez, F_u, t(F_t, s(x)) é o estado num tempo u. Mas isto é também F_u, s(x).

Em alguns contextos na física matemática, o mapeamento F_t, s é chamado "operador de propagação" ou simplesmente propagador. Na mecânica clássica, o propagador é uma função que opera no espaço fásico de um sistema físico. Na mecânica quântica, o propagador é geralmente um operador unitário em um espaço de Hilbert. O propagador por ser expressado como ordenador de tempo exponencial de uma integral hamiltoniana. As propriedades assintóticas do tempo de evolução são dadas pela matriz de espalhamento.

Um estado espacial com propagadores distintos também é chamado de sistema dinâmico.

Quando se diz que a evolução temporal é homogênea, se quer dizer que

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}\quad \forall u,t\in \mathbb {R} .

No caso de um sistema homogêneo, o mapeamento G_t = F_t,0 forma um único grupo de parâmetros de transformações de X, isto é

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.

Para sistemas não reversíveis, o operador de propagação F_t, s é definido sempre que t ≥ s e satisfizer a identidade de propagação

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).\quad u\geq t\geq s.

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